怎样保证瑞氏染色的质量(03/24更新)

我其实并不做组合，只是恰好学过点图论，所以请各位知乎大佬们不要邀请我做组合题目了 。但是看到这个受邀问题下面的回答也太邪乎了，我就来抛砖引玉吧。
给一个图 G = (V, E) 满足 hbox{deg}(v)le3, forall vin V 。考虑所有可能的染色构成的集合，我们把它记作mathcal{C} = {f : hbox{a mapping on the vertex set } f:V o {1,2}} ，那么这个集合的势一定是有限的且 hbox{card}(mathcal{C}) = 2^{|V|} 。现在我们用反证法，假设对于任意的 fin mathcal{C} 都存在一个长为2的路径 P = (v_1, v_2, v_3) 满足 f(v_1) = f(v_2)=f(v_3) = 1 或者 f(v_1) = f(v_2)=f(v_3) = 2 。现在考虑能最小化关联顶点染同样颜色的边的个数极端的染色 f_0 ，这个染色一定存在。比如你可以罗列出所有的 2^{|V|} 种染色，然后对于图 G 每一种染色，你可以数出有多少边关联顶点是同色的，通过比较选择出 f_0 。方便起见，我们把染色 f 所对应的关联顶点是同色的边的个数记作 hbox{SC}(f) 。
如果 hbox{SC}(f_0) = 0 ，那么已经和假设矛盾了，所以 hbox{SC}(f_0) >0 。根据假设，存在路径 P = (v_1, v_2, v_3) 满足 f_0(v_1) = f_0(v_2)=f_0(v_3) = 1 （对于另一种等于2的情况讨论是类似的）。对于顶点 v_2 ，它已经有两个染色为 1 的邻接顶点了，所以它最多另外还有一个邻接的顶点。如果我们构造新的染色 ilde{f}: V o {1,2} 满足：
ilde{f}(v) = egin{cases} f_0(v), & hbox{if }vin Vackslash {v_2}; 2, & hbox{if } v = v_2. end{cases}
这样一定有 hbox{SC}( ilde{f})<hbox{SC}(f_0) ，因为新的染色消去了两个关联顶点是同色的边但最多增加一个这样的边。所以和 f_0 的取法相矛盾，证毕。

文章说明：本文收集于网络，仅作参考，若有侵权，请联系本站删除！

关键词推荐：嵩明建材家装